確率の期待値とは

今回は、最近確率の単元に復活した「期待値」についてザクっと説明していこうと思います。

「期待値」は確率の単元から消えていたのですが、「確率分布」という単元の中でがっつりと扱われていました。

「確率分布」を履修　する生徒が多くなると思いますので、早めにどんなものか知りたい人は是非。

期待値とは

さて、さっそくやってみましょう。

商店街のくじ引きで、以下のようなものを考える。

１等・・・１００００円　　１本

２等・・・５０００円　　４本

３等・・・１０００円　　１０本

４等・・・５００円　　１５本

５等・・・１００円　　８０本

あなたはお客さんです。１回３００円であなたはやりますか？１回いくらならやりますか？

または

あなたは主催者です。１回いくらに設定しますか？

↑このようなことを考える時に必要になる考え方が、「期待値」です。と言われたら、ちょっと興味が出ませんか？

皆さん数学Ⅰで習うデータ分析という単元は終わっているでしょうか？終わっていない人も、「平均」という言葉は知っているでしょう。

この「平均」にあたるものが「期待値」と呼ばれるものです。

先ほどの例で考えると、１回くじを引いて平均どれくらいの金額があたるのかを調べるということです。

先ほどの例で、まずは合計を計算してみる。

$$10000×1+5000×4+1000×10+500×15+100×80=55500$$

次に、くじの平均を求めるわけだから、くじが１００本あるので、１００で割ればよいので、

$$55500÷100=555$$

となるので、５００円のくじならやってみようかなぁと思えたりするかもしれません。

ちなみに、この555という数字が期待値です。

【余談】実際に５００円でくじ引きをするときに、現金10,000円！ではなく、お店の商品券とかにして工夫すれば、店側からすれば十分利益があったりするので、くじはもう少し値段を下げてもよいかもしれません笑

計算では↑うえの計算でよいのですが、一般的には次のように計算していきます。

今回、10000円・5000円・1000円・500円・100円を「確率変数」といいます。

先ほどは合計を計算してから、くじの本数で割り算しましたが、今回は金額ごとに分けて割っていきます。（計算的には先ほどの計算と同じです。）

$$10000×\frac{1}{100}+5000×\frac{4}{100}+1000×\frac{10}{100}+500×\frac{15}{100}+100×\frac{80}{100}=555$$

全体を割った先ほどの計算ではなく、個別（金額ごと）に割り算していくと、「確率変数」×「確率」の足し算になっていることがわかると思います。

これが、高校数学の教科書に出てくる期待値の正体です。

教科書によっては「期待値」の公式がサラッと記載しただけものもありますので、今回の内容も参考にしてみてください。

ちなみに、「期待値」と「平均」は同じ意味です。確率分布の単元で扱う場合は「期待値」という言葉の方が、データの分析の単元で扱う場合は「平均」という言葉の方がしっくりくる感じがします。

確率分布を習い始めの第一歩（今は「確率」の単元にも少し登場します）が期待値ですので、皆さん最初で躓かないように頑張ってください。