こんにちは
現役塾講師のしんのすけです
ネットでは、公式は暗記するべきっていう意見と公式の暗記はダメっていう両極端な意見が混在します。
この問題に関して、大学のレベルの数学についても踏まえて書いていこうと思います。
公式はまず理解することに集中せよ
私は公式に関して「理解する」のには段階があると考えます。
１．どのように導出されたかを知る。
２．何をするための公式なのかを知る。
３．適切なタイミングで使えるのか実際に使ってみる。
以上の3段階です。
1に関しては、数学を専門に勉強していきたいっていう人は導出ができるように練習してみたりしてもよいとは思いますが、
一般的には、「知る」「理解する」程度で大丈夫です。
モチベーションとしては
この公式ってなにが求められるようになるんだろう？
くらいがちょうどいいのではないでしょうか。
実際には、例えば、、、
三角関数習いたてで加法定理の証明を、自分で何とかできるレベルの人なんてほとんどいないと思います。
が、証明を説明されたら理解できる人はかなりたくさんいますし、証明をできない人の多くは加法定理を使いこなすことができます。
【結論】公式は理解できたならまず暗記
高校数学はあくまで大学受験のために勉強します（これが一番大事！）。
なので、限られた時間内で解くことが大前提となりますので、公式は暗記するのが普通です。
もちろん公式の証明を「理解」することは、「思考力」の面でかなり大事だとは思いますが、
公式を習い終えたばかりで、証明ができるようになっていないといけないなんてことは全くありません。
むしろ、習いたてで「証明できます」なんて言う人がいるなら、それこそ「証明を丸暗記しているだけ」です。
公式習いたての頃の感覚
へー。どうやって公式が作られたのか分かったけど、自分で証明はできんな。使えるからいいいや。
↑ほとんどの場合、これでいいです。
使うことが目的の場合が多いので、これで十分です。
数学の勉強をしていくうちに公式の導出ができるようになればいいなくらいのモチベーションで大丈夫です。
大学数学でも
大学の数学で定理をよく扱いますが、定理の証明をすべて記述できるかといえば、ほとんどの学生が無理だと思います。
定理を使うことで新しい何か（定理）を作り、それが正しいことを証明することが大事なのであって、
今ある（既知である）定理を実際に書けるようになる（公式の証明を暗記）ことが、大学の数学においても、それほど重要なことに思いません（これ以上の専門になると話は別）。
自分で作った定理の証明をする際にほかの証明方法がきっかけになったりすることが多々あると思うので、
今存在している定理の証明を理解することが無駄なわけでは決してありませんが。。。
ちなみに、大学院（研究者）になる段階では公式（定理）に関して、
「こうすれば証明できる」というような感覚は必要だとは思います（経験上）。
高校数学を習っている全員が理学部を目指しているわけではない
高校数学を習っている人の中には、将来、文系の職業に就職を考えておられる人も多いはず。
文系の人なら、なおさら大学受験のための数学なので、高校数学の公式なんて、暗記して使えるレベルにしておけば
まったくもって問題なし（論理的思考能力の向上に関しては役に立つかもしれませんが、それは本来、高校数学でなくてもいいはず）。
工学部に進学を考えている人も、大学の入って数学の公式を証明するというよりは、
こういう定理があるので、使う前にちゃんと学習してから使いましょうくらいです。
なので、理解出来てちゃんと使えるなら、工学部であってもある程度問題ない。
理学部で理論を学びますっていう人は、高校からちゃんと証明を意識しておいたほうがいいかもしれませんが、
そういう人はそもそも高校数学に困っていないし、ネットで質問したりもしないですよね。
まとめ
以上の理由から、ネットで「公式は暗記したほうが良いですか」って質問する人に関しては、
「したほうが良い」が答えになります。
数学Ⅲになると、本当は公式にしたほうがいいなっていう計算（特に積分）もたくさん出てきます。
でも、全部を公式にしてしまうと、それはそれで大変なので、自分のできる範囲で暗記すればよいと思います。
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