今回は前回に引き続き、三角関数の極限でお送りしようと思っています。
前回は、はさみうちの原理を使って求めていく三角関数の極限について書きました。
そして、今回はそれ以外の三角関数の不定形について書いていきます。
それでは早速いってみましょー！
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三角関数の極限(不定形② \(\frac{1}{0}\)の型）
最初に言いますと、これはパターン化とか言う前に、まぎれもなく「公式」です。
皆さん！公式はきっちり覚えましょう。では・・・
【公式】
$$\lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}=1$$
覚えていますか？まだ覚えていない人は今すぐ覚えましょう。
（今回、証明は省きます）
前回の「はさみうちの原理」を使用するもので
$$\lim_{x→\infty}\frac{\sin x}{x}=0$$
の形と似ているので注意しましょう。違いをしっかり意識して覚えましょう。
また、ついでに
$$\lim_{x→0}\frac{x}{\sin x}=1$$
↑これも、覚えておいたら便利だと思います。証明は以下↓
$$\lim_{x→0}\frac{x}{\sin x}=\lim_{x→0}\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=1$$
今回は、パターンというより、使い方をマスターするだけなので、以下レベル分けして例題を書いていきます。
問題レベル１（基礎編）
例
$$\lim_{x→0}\frac{\sin 2x}{x}$$
簡単すぎましたか？
まず、三角関数の角度の部分（今回で言うと\(2x\)）の部分と分母（今回で言うと\(x\)）はともに「０」に近づいていきます（←これが大事！）
しかし、\(2x\)と\(x\)では「0」への近づき方が異なります。
同じ近づき方にしないと「公式」が使えませんから、無理矢理にそろえましょう。
$$\lim_{x→0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x→0}\frac{\sin 2x}{2x}・2=1・2=2$$
できましたか？
レベルアップしましょう！
問題レベル２（標準編）
例
$$\lim_{x→0}\frac{x\sin x}{1-\cos x}$$
どうですか？急に難しくなりましたか？
三角関数の極限では、基本的には不定形の場合「公式」または「はさみうちの原理」のどちらかです。
ですので、まず「公式」を使うことを意識しましょう。
「公式」では\(\sin x\)しか出てこないわけですから、\(1-\cos x\)の部分は\(1+\cos x\)を分母分子に掛け算して\(\sin^2x\)
に変形しましょう。
\(1+\cos x\)出てきたけどどうするの？って思いましたか？そう思った人は、よく見てください！
$$\lim_{x→0}(1+\cos x)=2$$
つまり、「２」に収束する場所が出てきただけなので、何も困ることなんてありません。
このことを踏まえて書いてみます。
$$\lim_{x→0}\frac{x\sin x}{1-\cos x}$$
$$=\lim_{x→0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x\sin x(1+\cos x)}$$
$$=\lim_{x→0}\frac{\sin^2x}{x\sin x(1+\cos x)}$$
$$=\lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2}$$
少し難しいですが、ついてこれましたか？
問題レベル３（応用編）
例
$$\lim_{x→\infty}x\sin\frac{1}{x}$$
どうですか？これも\(\infty\times0\)の不定形です（※ここでの「０」は「0に収束」の意味で使っています）。
少し式変形をしてみます。
$$\lim_{x→\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{x→\infty}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$$
気づきましたか？\(\frac{1}{x}\)のところがともに「０」に近づいています。
なので、バッチリ「公式」を使えます。
$$\lim_{x→\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{x→\infty}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=1$$
できました！
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まとめ
今回は「公式」の使い方を見ていきました。三角関数の極限の「公式」は今回の出てきた1つしかありません。
なので、三角関数サインの角度のところが「０」に収束する問題の時は、「公式」が使えないか式変形を試してみましょう。
お疲れさまでした。公式の使い方はもうバッチリでしょうか？
次回は今回出てきた三角関数の極限の「公式」と一緒に出題されやすい極限の公式をまとめてみようと思います。
それでは、今回はこの辺で。。。
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